Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{8} - 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ и ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ из ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$ на $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $k$ и $0$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - (k - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $k$ из $k$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$r = - \frac{3}{5}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $k$ в $- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{1 - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{0}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{5}$ .

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} {(\frac{3}{5})}^{0})$

Этап 3.2.2.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{5}$ .

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Этап 3.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = - 3 (1 \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Этап 3.2.4

Умножим $\frac{3^{0}}{5^{0}}$ на $1$ .

$a = - 3 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Этап 3.2.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = - 3 \frac{1}{5^{0}}$

Этап 3.2.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Сократим общий множитель.

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.7.2

Перепишем это выражение.

$a = - 3 \cdot 1$

Этап 3.2.8

Умножим $- 3$ на $1$ .

$a = - 3$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$- 3 \frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{8}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{5}$ .

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{3}{5})}^{8})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{5}$ .

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{3^{8}}{5^{8}})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{8}$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{8}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5.1.2.3

Добавим $8$ и $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5.1.3

Возведем $- 1$ в степень $9$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5.1.4

Возведем $3$ в степень $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5.1.5

Возведем $5$ в степень $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5.1.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- 3 \frac{\frac{390625}{390625} - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 \frac{\frac{390625 - 6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5.1.8

Вычтем $6561$ из $390625$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- - \frac{3}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + 1 (\frac{3}{5})}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $\frac{3}{5}$ на $1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + \frac{3}{5}}$

Этап 5.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5 + 3}{5}}$

Этап 5.2.4

Добавим $5$ и $3$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{8}{5}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 3 (\frac{384064}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $8$ из $384064$ .

$- 3 (\frac{8 (48008)}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$- 3 (\frac{8 \cdot 48008}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$- 3 (\frac{48008}{390625} \cdot 5)$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $5$ из $390625$ .

$- 3 (\frac{48008}{5 (78125)} \cdot 5)$

Этап 5.5.2

Сократим общий множитель.

$- 3 (\frac{48008}{5 \cdot 78125} \cdot 5)$

Этап 5.5.3

Перепишем это выражение.

$- 3 (\frac{48008}{78125})$

Этап 5.6

Умножим $- 3 (\frac{48008}{78125})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим $- 3$ и $\frac{48008}{78125}$ .

$\frac{- 3 \cdot 48008}{78125}$

Этап 5.6.2

Умножим $- 3$ на $48008$ .

$\frac{- 144024}{78125}$

Этап 5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{144024}{78125}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{144024}{78125}$

Десятичная форма:

$- 1.8435072$

Форма смешанных чисел:

$- 1 \frac{65899}{78125}$