Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 2}^{32} (9) {(- 1)}^{k - 1}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{9 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{9 {(- 1)}^{k - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{9 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{9 {(- 1)}^{k - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1 - 1}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ и ${(- 1)}^{k - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(- 1)}^{k - 1}$ из ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$ на $1$ .

$r = {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $k$ и $0$ .

$r = {(- 1)}^{k - (k - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(- 1)}^{k - k - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(- 1)}^{k - k + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $k$ из $k$ .

$r = {(- 1)}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(- 1)}^{1}$

Этап 2.2.7

Найдем экспоненту.

$r = - 1$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2$ вместо $k$ в $(9) {(- 1)}^{k - 1}$ .

$a = 9 {(- 1)}^{2 - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$a = 9 {(- 1)}^{1}$

Этап 3.2.2

Найдем экспоненту.

$a = 9 \cdot - 1$

Этап 3.2.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$a = - 9$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$- 9 \frac{1 - {(- 1)}^{31}}{1 - - 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{31}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{31}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$- 9 \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{31}}{1 - - 1}$

Этап 5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 9 \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 31}}{1 - - 1}$

Этап 5.1.1.2

Добавим $1$ и $31$ .

$- 9 \frac{1 + {(- 1)}^{32}}{1 - - 1}$

Этап 5.1.2

Возведем $- 1$ в степень $32$ .

$- 9 \frac{1 + 1}{1 - - 1}$

Этап 5.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$- 9 \frac{2}{1 - - 1}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 9 \frac{2}{1 + 1}$

Этап 5.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$- 9 (\frac{2}{2})$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$- 9 (\frac{2}{2})$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$- 9 \cdot 1$

Этап 5.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 9$