Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3 - 5 k}{4}$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $k$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} - \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$

Этап 2.2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.2.2

Подставим значения в формулу.

$(\frac{3}{4}) (46)$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 46$

Этап 2.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $46$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

Этап 2.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

Этап 2.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \cdot 23$

Этап 2.2.3.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $23$ .

$\frac{3 \cdot 23}{2}$

Этап 2.2.3.3

Умножим $3$ на $23$ .

$\frac{69}{2}$

Этап 2.3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем $- \frac{5}{4}$ за символ суммирования.

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{46} k$

Этап 2.3.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- \frac{5}{4}) (\frac{46 (46 + 1)}{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Добавим $46$ и $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{46 \cdot 47}{2}$

Этап 2.3.4.1.2

Умножим $46$ на $47$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

Этап 2.3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{4}$ в числитель.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{2162}{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2162$ .

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

Этап 2.3.4.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

Этап 2.3.4.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{1081}{2}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $\frac{- 5}{2}$ на $\frac{1081}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 1081}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.4.1

Умножим $- 5$ на $1081$ .

$\frac{- 5405}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.4.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 5405}{4}$

Этап 2.3.4.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5405}{4}$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$\frac{69}{2} - \frac{5405}{4}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы записать $\frac{69}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5405}{4}$

Этап 2.5.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Умножим $\frac{69}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{5405}{4}$

Этап 2.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{69 \cdot 2}{4} - \frac{5405}{4}$

Этап 2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{69 \cdot 2 - 5405}{4}$

Этап 2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $69$ на $2$ .

$\frac{138 - 5405}{4}$

Этап 2.5.4.2

Вычтем $5405$ из $138$ .

$\frac{- 5267}{4}$

Этап 2.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5267}{4}$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$

Этап 3.2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3.2.2

Подставим значения в формулу.

$(\frac{3}{4}) (14)$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 14$

Этап 3.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

Этап 3.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

Этап 3.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \cdot 7$

Этап 3.2.3.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $7$ .

$\frac{3 \cdot 7}{2}$

Этап 3.2.3.3

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{21}{2}$

Этап 3.3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем $- \frac{5}{4}$ за символ суммирования.

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{14} k$

Этап 3.3.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.3.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- \frac{5}{4}) (\frac{14 (14 + 1)}{2})$

Этап 3.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Добавим $14$ и $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{14 \cdot 15}{2}$

Этап 3.3.4.1.2

Умножим $14$ на $15$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

Этап 3.3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{4}$ в числитель.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

Этап 3.3.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{210}{2}$

Этап 3.3.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $210$ .

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

Этап 3.3.4.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

Этап 3.3.4.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{105}{2}$

Этап 3.3.4.3

Умножим $\frac{- 5}{2}$ на $\frac{105}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 105}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.4.1

Умножим $- 5$ на $105$ .

$\frac{- 525}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.4.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 525}{4}$

Этап 3.3.4.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{525}{4}$

Этап 3.4

Сложим результаты суммирования.

$\frac{21}{2} - \frac{525}{4}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы записать $\frac{21}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{525}{4}$

Этап 3.5.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $\frac{21}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{525}{4}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{21 \cdot 2}{4} - \frac{525}{4}$

Этап 3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{21 \cdot 2 - 525}{4}$

Этап 3.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $21$ на $2$ .

$\frac{42 - 525}{4}$

Этап 3.5.4.2

Вычтем $525$ из $42$ .

$\frac{- 483}{4}$

Этап 3.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{483}{4}$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$- \frac{5267}{4} + \frac{483}{4}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 5267 + 483}{4}$

Этап 5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $- 5267$ и $483$ .

$\frac{- 4784}{4}$

Этап 5.2.2

Разделим $- 4784$ на $4$ .

$- 1196$