Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{n = 1}^{20} \frac{5}{2} n - 3$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $n$ .

$\frac{5 n}{2} - 3$

Этап 1.2

Переделаем суммирование.

$\sum_{n = 1}^{20} \frac{5 n}{2} - 3$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{n = 1}^{20} \frac{5 n}{2} - 3 = \sum_{n = 1}^{20} \frac{5 n}{2} + \sum_{n = 1}^{20} - 3$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{20} \frac{5 n}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $\frac{5}{2}$ за символ суммирования.

$(\frac{5}{2}) \sum_{n = 1}^{20} n$

Этап 3.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(\frac{5}{2}) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Добавим $20$ и $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{20 \cdot 21}{2}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $20$ на $21$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{420}{2}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $420$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{2 (210)}{2}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{2 \cdot 210}{2}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{210}{2})$

Этап 3.4.3

Объединим $5$ и $\frac{210}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 210}{2}$

Этап 3.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Умножим $5$ на $210$ .

$\frac{1050}{2}$

Этап 3.4.4.2

Разделим $1050$ на $2$ .

$525$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{20} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 4.2

Подставим значения в формулу.

$(- 3) (20)$

Этап 4.3

Умножим $- 3$ на $20$ .

$- 60$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$525 - 60$

Этап 6

Вычтем $60$ из $525$ .

$465$