Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{n = 1}^{500} n + 8$

Этап 1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{n = 1}^{500} n + 8 = \sum_{n = 1}^{500} n + \sum_{n = 1}^{500} 8$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{500} n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{500 (500 + 1)}{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $500$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $500 (500 + 1)$ .

$\frac{2 (250 (500 + 1))}{2}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (250 (500 + 1))}{2 (1)}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (250 (500 + 1))}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{250 (500 + 1)}{1}$

Этап 2.3.1.2.4

Разделим $250 (500 + 1)$ на $1$ .

$250 (500 + 1)$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $500$ и $1$ .

$250 \cdot 501$

Этап 2.3.2.2

Умножим $250$ на $501$ .

$125250$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{500} 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3.2

Подставим значения в формулу.

$(8) (500)$

Этап 3.3

Умножим $8$ на $500$ .

$4000$

Этап 4

Сложим результаты суммирования.

$125250 + 4000$

Этап 5

Добавим $125250$ и $4000$ .

$129250$