Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{n = 0}^{23} 2 + \frac{1}{2} n$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $n$ .

$2 + \frac{n}{2}$

Этап 1.2

Переделаем суммирование.

$\sum_{n = 0}^{23} 2 + \frac{n}{2}$

Этап 2

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $n$ было равно $1$ .

$\sum_{n = 0}^{23} 2 + \frac{n}{2} = \sum_{n = 1}^{23} 2 + \frac{n}{2} + \sum_{n = 0}^{0} 2 + \frac{n}{2}$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{23} 2 + \frac{n}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{n = 1}^{23} 2 + \frac{n}{2} = \sum_{n = 1}^{23} 2 + \sum_{n = 1}^{23} \frac{n}{2}$

Этап 3.2

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{23} 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3.2.2

Подставим значения в формулу.

$(2) (23)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $23$ .

$46$

Этап 3.3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{23} \frac{n}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем $\frac{1}{2}$ за символ суммирования.

$(\frac{1}{2}) \sum_{n = 1}^{23} n$

Этап 3.3.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.3.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(\frac{1}{2}) (\frac{23 (23 + 1)}{2})$

Этап 3.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Добавим $23$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{23 \cdot 24}{2}$

Этап 3.3.4.1.2

Умножим $23$ на $24$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{552}{2}$

Этап 3.3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $552$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (276)}{2}$

Этап 3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 276}{2}$

Этап 3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{276}{2}$

Этап 3.3.4.3

Разделим $276$ на $2$ .

$138$

Этап 3.4

Сложим результаты суммирования.

$46 + 138$

Этап 3.5

Добавим $46$ и $138$ .

$184$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{n = 0}^{0} 2 + \frac{n}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

$2 + \frac{0}{2}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим $0$ на $2$ .

$2 + 0$

Этап 4.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 5

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$184 + 2$

Этап 6

Добавим $184$ и $2$ .

$186$