Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{1}{3} n$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $n$ и $\frac{1}{3}$ .

$4 - \frac{n}{3}$

Этап 1.2

Переделаем суммирование.

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3}$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3} = \sum_{n = 1}^{120} 4 + \sum_{n = 1}^{120} - \frac{n}{3}$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{120} 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3.2

Подставим значения в формулу.

$(4) (120)$

Этап 3.3

Умножим $4$ на $120$ .

$480$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{120} - \frac{n}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $- \frac{1}{3}$ за символ суммирования.

$(- \frac{1}{3}) \sum_{n = 1}^{120} n$

Этап 4.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 4.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{120 (120 + 1)}{2})$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Добавим $120$ и $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{120 \cdot 121}{2}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $120$ на $121$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем множитель $3$ из $14520$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (4840)}{2}$

Этап 4.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 4840}{2}$

Этап 4.4.2.4

Перепишем это выражение.

$- 1 (\frac{4840}{2})$

Этап 4.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Разделим $4840$ на $2$ .

$- 1 \cdot 2420$

Этап 4.4.3.2

Умножим $- 1$ на $2420$ .

$- 2420$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$480 - 2420$

Этап 6

Вычтем $2420$ из $480$ .

$- 1940$