Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1}$

Этап 1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + \sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.2

Подставим значения в формулу.

$(\frac{1}{4}) (11)$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $11$ .

$\frac{11}{4}$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 3.2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 1 - 1}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ и ${(- 3)}^{k - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Вынесем множитель ${(- 3)}^{k - 1}$ из ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 3.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 3.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Этап 3.2.2.1.2.4

Разделим ${(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$ на $1$ .

$r = {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $k$ и $0$ .

$r = {(- 3)}^{k - (k - 1)}$

Этап 3.2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(- 3)}^{k - k - - 1}$

Этап 3.2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(- 3)}^{k - k + 1}$

Этап 3.2.2.4

Вычтем $k$ из $k$ .

$r = {(- 3)}^{0 + 1}$

Этап 3.2.2.5

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(- 3)}^{1}$

Этап 3.2.2.6

Найдем экспоненту.

$r = - 3$

Этап 3.3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим $1$ вместо $k$ в ${(- 3)}^{k - 1}$ .

$a = {(- 3)}^{1 - 1}$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = {(- 3)}^{0}$

Этап 3.3.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 1$

Этап 3.4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$1 \frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$ на $1$ .

$\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Этап 3.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведем $- 3$ в степень $11$ .

$\frac{1 - - 177147}{1 - - 3}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $- 1$ на $- 177147$ .

$\frac{1 + 177147}{1 - - 3}$

Этап 3.5.2.3

Добавим $1$ и $177147$ .

$\frac{177148}{1 - - 3}$

Этап 3.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{177148}{1 + 3}$

Этап 3.5.3.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{177148}{4}$

Этап 3.5.4

Разделим $177148$ на $4$ .

$44287$

Этап 4

Сложим результаты суммирования.

$\frac{11}{4} + 44287$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $44287$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + 44287 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 5.2

Объединим $44287$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + \frac{44287 \cdot 4}{4}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{11 + 44287 \cdot 4}{4}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $44287$ на $4$ .

$\frac{11 + 177148}{4}$

Этап 5.4.2

Добавим $11$ и $177148$ .

$\frac{177159}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{177159}{4}$

Десятичная форма:

$44289.75$

Форма смешанных чисел:

$44289 \frac{3}{4}$