Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

Этап 1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{100} 9 + \sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{100} 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.2

Подставим значения в формулу.

$(9) (100)$

Этап 2.3

Умножим $9$ на $100$ .

$900$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 3.2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ и ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Вынесем множитель ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ из ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 3.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 3.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Этап 3.2.2.1.2.4

Разделим ${(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$ на $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $k$ и $0$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - (k - 1)}$

Этап 3.2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k - - 1}$

Этап 3.2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k + 1}$

Этап 3.2.2.4

Вычтем $k$ из $k$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Этап 3.2.2.5

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

Этап 3.2.2.6

Упростим.

$r = \frac{1}{2}$

Этап 3.3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим $1$ вместо $k$ в ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Этап 3.3.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Этап 3.3.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Этап 3.3.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Этап 3.3.2.5

Разделим $1$ на $1$ .

$a = 1$

Этап 3.4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 3.5.2.2

Объединим.

$\frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Этап 3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 3.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Этап 3.5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Этап 3.5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + 2 (- \frac{1^{100}}{2^{100}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1^{100}}{2^{100}}$ в числитель.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2^{100}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2^{100}$ .

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + \frac{- 1^{100}}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 + \frac{- 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.7

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{2 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.8

Объединим $2$ и $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.10

Умножим $2$ на $2^{99}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.10.1

Умножим $2$ на $2^{99}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.10.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2^{1} \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2^{1 + 99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.5.10.2

Добавим $1$ и $99$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 3.5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 - 1}$

Этап 3.5.6.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{1}$

Этап 3.5.7

Разделим $\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$ на $1$ .

$\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Этап 4

Сложим результаты суммирования.

$900 + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $900$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$900 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Этап 5.2

Объединим $900$ и $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{900 \cdot 2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

Десятичная форма:

$902$