Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{10} 1 + {(- 1)}^{k}$

Этап 1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{10} 1 + {(- 1)}^{k} = \sum_{k = 1}^{10} 1 + \sum_{k = 1}^{10} {(- 1)}^{k}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{10} 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.2

Подставим значения в формулу.

$(1) (10)$

Этап 2.3

Умножим $10$ на $1$ .

$10$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{10} {(- 1)}^{k}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 3.2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{{(- 1)}^{k}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель ${(- 1)}^{k + 1}$ и ${(- 1)}^{k}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель ${(- 1)}^{k}$ из ${(- 1)}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k}}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

Этап 3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

Этап 3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{- 1}{1}$

Этап 3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$r = - 1$

Этап 3.3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим $1$ вместо $k$ в ${(- 1)}^{k}$ .

$a = {(- 1)}^{1}$

Этап 3.3.2

Найдем экспоненту.

$a = - 1$

Этап 3.4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$- \frac{1 - {(- 1)}^{10}}{1 - - 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{10}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{10}}{1 - - 1}$

Этап 3.5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 10}}{1 - - 1}$

Этап 3.5.1.1.2

Добавим $1$ и $10$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Этап 3.5.1.2

Возведем $- 1$ в степень $11$ .

$- \frac{1 - 1}{1 - - 1}$

Этап 3.5.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$- \frac{0}{1 - - 1}$

Этап 3.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{0}{1 + 1}$

Этап 3.5.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{0}{2}$

Этап 3.5.3

Разделим $0$ на $2$ .

$- 0$

Этап 3.5.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$

Этап 4

Сложим результаты суммирования.

$10 + 0$

Этап 5

Добавим $10$ и $0$ .

$10$