Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{6} 3 k^{2}$

Этап 1

Вынесем $3$ за символ суммирования.

$(3) \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$

Этап 2

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(3) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $6$ и $1$ .

$3 \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Этап 4.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $6$ на $7$ .

$3 \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$3 \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Этап 4.1.3

Добавим $12$ и $1$ .

$3 \frac{42 \cdot 13}{6}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $42$ на $13$ .

$3 (\frac{546}{6})$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 \frac{546}{3 (2)}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{546}{3 \cdot 2}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{546}{2}$

Этап 4.2.3

Разделим $546$ на $2$ .

$273$