Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{6} 5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{5 {(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{5 {(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}$ и ${(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ из ${(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}$ на $1$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $k$ и $0$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - (k - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - k - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - k + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $k$ из $k$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$r = \frac{9}{4}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $k$ в $5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ .

$a = 5 {(\frac{9}{4})}^{1 - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = 5 {(\frac{9}{4})}^{0}$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $\frac{9}{4}$ .

$a = 5 \frac{9^{0}}{4^{0}}$

Этап 3.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 5 \frac{1}{4^{0}}$

Этап 3.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.5

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.5.2

Перепишем это выражение.

$a = 5 \cdot 1$

Этап 3.2.6

Умножим $5$ на $1$ .

$a = 5$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$5 \frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}}$ на $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}})$

Этап 5.1.2

Объединим.

$5 \frac{4 (1 - {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{9}{4})}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{9}{4})}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9}{4}$ в числитель.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 9}{4})}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 9}{4})}$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $4$ на $1$ .

$5 \frac{4 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.2

Применим правило умножения к $\frac{9}{4}$ .

$5 \frac{4 + 4 (- \frac{9^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9^{6}}{4^{6}}$ в числитель.

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4^{6}$ .

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.3.3

Сократим общий множитель.

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.3.4

Перепишем это выражение.

$5 \frac{4 + \frac{- 9^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.4

Возведем $9$ в степень $6$ .

$5 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 531441}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.5

Возведем $4$ в степень $5$ .

$5 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.6

Умножим $- 1$ на $531441$ .

$5 \frac{4 + \frac{- 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 \frac{4 - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.8

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1024}{1024}$ .

$5 \frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.9

Объединим $4$ и $\frac{1024}{1024}$ .

$5 \frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{\frac{4 \cdot 1024 - 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.11.1

Умножим $4$ на $1024$ .

$5 \frac{\frac{4096 - 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.11.2

Вычтем $531441$ из $4096$ .

$5 \frac{\frac{- 527345}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Этап 5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $4$ на $1$ .

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{4 - 9}$

Этап 5.5.2

Вычтем $9$ из $4$ .

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{- 5}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{5 (- 1)}$

Этап 5.6.2

Сократим общий множитель.

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{5 \cdot - 1}$

Этап 5.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{527345}{1024}}{- 1}$

Этап 5.7

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{527345}{1024}}{1}$

Этап 5.8

Разделим $\frac{527345}{1024}$ на $1$ .

$\frac{527345}{1024}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{527345}{1024}$

Десятичная форма:

$514.98535156 \dots$

Форма смешанных чисел:

$514 \frac{1009}{1024}$