Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{200} {(2 k - 3)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(2 k - 3)}^{2}$ в виде $(2 k - 3) (2 k - 3)$ .

$(2 k - 3) (2 k - 3)$

Этап 1.2

Развернем $(2 k - 3) (2 k - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Этап 1.3.1.2

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $k$ .

$2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $k$ на $k$ .

$2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Этап 1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Этап 1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9$

Этап 1.3.2

Вычтем $6 k$ из $- 6 k$ .

$4 k^{2} - 12 k + 9$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9 = 4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2} - 12 \sum_{k = 1}^{200} k + \sum_{k = 1}^{200} 9$

Этап 3

Найдем значение $4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(4) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $200$ и $1$ .

$4 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $200$ на $201$ .

$4 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $200$ .

$4 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $400$ и $1$ .

$4 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $40200$ на $401$ .

$4 (\frac{16120200}{6})$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{16120200}{6}$

Этап 3.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{16120200}{3})$

Этап 3.3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{16120200}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16120200}{3}$

Этап 3.3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Умножим $2$ на $16120200$ .

$\frac{32240400}{3}$

Этап 3.3.2.4.2

Разделим $32240400$ на $3$ .

$10746800$

Этап 4

Найдем значение $12 \sum_{k = 1}^{200} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 12) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $200$ и $1$ .

$- 12 \frac{200 \cdot 201}{2}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $200$ на $201$ .

$- 12 (\frac{40200}{2})$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$2 (- 6) \frac{40200}{2}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 6 \frac{40200}{2}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 6 \cdot 40200$

Этап 4.3.3

Умножим $- 6$ на $40200$ .

$- 241200$

Этап 5

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{200} 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 5.2

Подставим значения в формулу.

$(9) (200)$

Этап 5.3

Умножим $9$ на $200$ .

$1800$

Этап 6

Сложим результаты суммирования.

$10746800 - 241200 + 1800$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $241200$ из $10746800$ .

$10505600 + 1800$

Этап 7.2

Добавим $10505600$ и $1800$ .

$10507400$