Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{4} 72 {(\frac{1}{3})}^{k}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

$72 {(\frac{1}{3})}^{1} + 72 {(\frac{1}{3})}^{2} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим.

$72 (\frac{1}{3}) + 72 {(\frac{1}{3})}^{2} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $72$ .

$3 (24) \frac{1}{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{2} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 24 \frac{1}{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{2} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$24 + 72 {(\frac{1}{3})}^{2} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$24 + 72 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$24 + 72 \frac{1}{3^{2}} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$24 + 72 (\frac{1}{9}) + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.6

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $9$ из $72$ .

$24 + 9 (8) \frac{1}{9} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$24 + 9 \cdot 8 \frac{1}{9} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$24 + 8 + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.7

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$24 + 8 + 72 \frac{1^{3}}{3^{3}} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$24 + 8 + 72 \frac{1}{3^{3}} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.9

Возведем $3$ в степень $3$ .

$24 + 8 + 72 (\frac{1}{27}) + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.10

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Вынесем множитель $9$ из $72$ .

$24 + 8 + 9 (8) \frac{1}{27} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.10.2

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$24 + 8 + 9 \cdot 8 \frac{1}{9 \cdot 3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.10.3

Сократим общий множитель.

$24 + 8 + 9 \cdot 8 \frac{1}{9 \cdot 3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.10.4

Перепишем это выражение.

$24 + 8 + 8 (\frac{1}{3}) + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.11

Объединим $8$ и $\frac{1}{3}$ .

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 2.1.12

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 72 \frac{1^{4}}{3^{4}}$

Этап 2.1.13

Единица в любой степени равна единице.

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 72 \frac{1}{3^{4}}$

Этап 2.1.14

Возведем $3$ в степень $4$ .

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 72 (\frac{1}{81})$

Этап 2.1.15

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Вынесем множитель $9$ из $72$ .

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 9 (8) \frac{1}{81}$

Этап 2.1.15.2

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 9 \cdot 8 \frac{1}{9 \cdot 9}$

Этап 2.1.15.3

Сократим общий множитель.

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 9 \cdot 8 \frac{1}{9 \cdot 9}$

Этап 2.1.15.4

Перепишем это выражение.

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{9})$

Этап 2.1.16

Объединим $8$ и $\frac{1}{9}$ .

$24 + 8 + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Этап 2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем $24$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{24}{1} + 8 + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{24}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{24}{1} \cdot \frac{9}{9} + 8 + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{24}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + 8 + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Этап 2.2.4

Запишем $8$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + \frac{8}{1} + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{8}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + \frac{8}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{8}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + \frac{8 \cdot 9}{9} + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Этап 2.2.7

Умножим $\frac{8}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + \frac{8 \cdot 9}{9} + \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{9}$

Этап 2.2.8

Умножим $\frac{8}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + \frac{8 \cdot 9}{9} + \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{9}$

Этап 2.2.9

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + \frac{8 \cdot 9}{9} + \frac{8 \cdot 3}{9} + \frac{8}{9}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{24 \cdot 9 + 8 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + 8}{9}$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $24$ на $9$ .

$\frac{216 + 8 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + 8}{9}$

Этап 2.4.2

Умножим $8$ на $9$ .

$\frac{216 + 72 + 8 \cdot 3 + 8}{9}$

Этап 2.4.3

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{216 + 72 + 24 + 8}{9}$

Этап 2.5

Добавим $216$ и $72$ .

$\frac{288 + 24 + 8}{9}$

Этап 2.6

Добавим $288$ и $24$ .

$\frac{312 + 8}{9}$

Этап 2.7

Добавим $312$ и $8$ .

$\frac{320}{9}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{320}{9}$

Десятичная форма:

$35.\overline{5}$

Форма смешанных чисел:

$35 \frac{5}{9}$