Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{\infty} 3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ и ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ из ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ на $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $k$ и $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $k$ из $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$r = \frac{2}{3}$

Этап 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $k$ в $3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Этап 4.2.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$a = 3 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Этап 4.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 3 \frac{1}{3^{0}}$

Этап 4.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$a = 3 \cdot 1$

Этап 4.2.6

Умножим $3$ на $1$ .

$a = 3$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{3}{1 - \frac{2}{3}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Этап 6.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{\frac{3 - 2}{3}}$

Этап 6.1.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3}{\frac{1}{3}}$

Этап 6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$3 \cdot 3$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9$