Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{7}{8^{k}}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{\frac{7}{8^{k + 1}}}{\frac{7}{8^{k}}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$r = \frac{7}{8^{k + 1}} \cdot \frac{8^{k}}{7}$

Этап 2.2.2

Объединим.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Этап 2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{8^{k}}{8^{k + 1}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $8^{k}$ и $8^{k + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $8^{k + 1}$ из $8^{k}$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1}}$

Этап 2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{8^{k - (k + 1)}}{1}$

Этап 2.2.4.2.4

Разделим $8^{k - (k + 1)}$ на $1$ .

$r = 8^{k - (k + 1)}$

Этап 2.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = 8^{k - k - 1 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$r = 8^{k - k - 1}$

Этап 2.2.6

Вычтем $k$ из $k$ .

$r = 8^{0 - 1}$

Этап 2.2.7

Вычтем $1$ из $0$ .

$r = 8^{- 1}$

Этап 2.2.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{8}$

Этап 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $k$ в $\frac{7}{8^{k}}$ .

$a = \frac{7}{8^{1}}$

Этап 4.2

Найдем экспоненту.

$a = \frac{7}{8}$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{\frac{7}{8}}{1 - \frac{1}{8}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}$

Этап 6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8 - 1}{8}}$

Этап 6.2.3

Вычтем $1$ из $8$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{7}{8}}$

Этап 6.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{7}{8} (1 (\frac{8}{7}))$

Этап 6.4

Умножим $\frac{8}{7}$ на $1$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Этап 6.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Этап 6.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Этап 6.6

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Этап 6.6.2

Перепишем это выражение.

$1$