Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{n = 51}^{100} 8 n$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $n$ было равно $1$ .

$\sum_{n = 51}^{100} 8 n = \sum_{n = 1}^{100} 8 n - \sum_{n = 1}^{50} 8 n$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{100} 8 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $8$ за символ суммирования.

$(8) \sum_{n = 1}^{100} n$

Этап 2.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(8) (\frac{100 (100 + 1)}{2})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Добавим $100$ и $1$ .

$8 \frac{100 \cdot 101}{2}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $100$ на $101$ .

$8 (\frac{10100}{2})$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{10100}{2}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{10100}{2}$

Этап 2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 10100$

Этап 2.4.3

Умножим $4$ на $10100$ .

$40400$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{50} 8 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $8$ за символ суммирования.

$(8) \sum_{n = 1}^{50} n$

Этап 3.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(8) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Добавим $50$ и $1$ .

$8 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $50$ на $51$ .

$8 (\frac{2550}{2})$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{2550}{2}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{2550}{2}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 2550$

Этап 3.4.3

Умножим $4$ на $2550$ .

$10200$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$40400 - 10200$

Этап 5

Вычтем $10200$ из $40400$ .

$30200$