Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 + 2 x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 + 2 x} - 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 + 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 + 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 + lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2.1.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2.1.6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 8} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Добавим $9$ и $16$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 8} 2}$

Этап 1.1.3.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{8} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{2^{3}} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 + 2 x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{9 + 2 x} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 + 2 x}$ в виде ${(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 9 + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 + 2 x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 + 2 x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $9 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.12

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.13

Добавим $0$ и $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.15

Объединим $\frac{{(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.16

Перенесем $2$ влево от ${(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{2 \cdot {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.17

Перенесем ${(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{2}{2 {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.18

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{2}{2 {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.3.19

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Добавим $\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.5.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $\sqrt[3]{x} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0}$

Этап 1.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0}$

Этап 1.3.9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}$

Этап 1.3.9.2.2

Добавим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.5

Перепишем ${(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{2 x + 9}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\sqrt{2 x + 9}} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{\sqrt{2 x + 9}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{3}{\sqrt{2 x + 9}} x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.6.2

Объединим $\frac{3}{\sqrt{2 x + 9}}$ и $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 x + 9}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 x + 9}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$3 \frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x + 9}}$

Этап 2.3

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении $x^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x + 9}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 2 x + 9}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 9}}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 9}}$

Этап 2.7

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x + 9}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$3 \frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x + 9}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$3 \frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$3 \frac{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Этап 4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2^{3 (\frac{2}{3})}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Этап 4.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{2^{3 (\frac{2}{3})}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Этап 4.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 \frac{2^{2}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Этап 4.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$3 \frac{4}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$3 \frac{4}{\sqrt{16 + 9}}$

Этап 4.2.2

Добавим $16$ и $9$ .

$3 \frac{4}{\sqrt{25}}$

Этап 4.2.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$3 \frac{4}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 4.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3 (\frac{4}{5})$

Этап 4.3

Умножим $3 (\frac{4}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $3$ и $\frac{4}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{5}$

Этап 4.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{12}{5}$

Десятичная форма:

$2.4$