Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{3 x + 2}{6 x - 8}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 2}{6 x - 8}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 3 x + 2}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Этап 5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 2}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 2}{lim_{x \to 8} 6 x - lim_{x \to 8} 8}}$

Этап 7

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 2}{6 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8}}$

Этап 8

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 2}{6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 8 + 2}{6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 8 + 2}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $3$ на $8$ .

$\sqrt{\frac{24 + 2}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Этап 10.2

Добавим $24$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{26}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Этап 10.3

Умножим $6$ на $8$ .

$\sqrt{\frac{26}{48 - 1 \cdot 8}}$

Этап 10.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\sqrt{\frac{26}{48 - 8}}$

Этап 10.5

Вычтем $8$ из $48$ .

$\sqrt{\frac{26}{40}}$

Этап 10.6

Сократим общий множитель $26$ и $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Вынесем множитель $2$ из $26$ .

$\sqrt{\frac{2 (13)}{40}}$

Этап 10.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $40$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}}$

Этап 10.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}}$

Этап 10.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{13}{20}}$

Этап 10.7

Перепишем $\sqrt{\frac{13}{20}}$ в виде $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{20}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{20}}$

Этап 10.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4 (5)}}$

Этап 10.8.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Этап 10.8.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 10.9

Умножим $\frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 10.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Умножим $\frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 10.10.2

Перенесем $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Этап 10.10.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Этап 10.10.4

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Этап 10.10.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 10.10.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 10.10.7

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.10.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.10.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.10.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.10.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{1}}$

Этап 10.10.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Этап 10.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{13 \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Этап 10.11.2

Умножим $13$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{65}}{2 \cdot 5}$

Этап 10.12

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{65}}{10}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{65}}{10}$

Десятичная форма:

$0.80622577 \dots$