Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\csc (6 x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\csc (6 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (6 x)}}$

Этап 1.2

Выразим $\cot (2 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (6 x)}}$

Этап 1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (6 x)$

Этап 1.4

Запишем $\sin (6 x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{1}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим $\sin (6 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (6 x)$

Этап 1.5.2

Переведем $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ в $\cot (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \cot (2 x) \sin (6 x)$

Этап 2

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (2 x) \sin (6 x)$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cot (2 x) \sin (6 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (6 x) \\ - 0.1 & 2.78546877 \\ - 0.01 & 2.99780055 \\ - 0.001 & 2.999978 \\ - 0.0001 & 2.99999978 \end{array}$

Этап 4

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $3$ . Таким образом, предел $\cot (2 x) \sin (6 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $3$ .

$3$

Этап 5

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (2 x) \sin (6 x)$

Этап 6

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cot (2 x) \sin (6 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (6 x) \\ 0.1 & 2.78546877 \\ 0.01 & 2.99780055 \\ 0.001 & 2.999978 \\ 0.0001 & 2.99999978 \end{array}$

Этап 7

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $3$ . Таким образом, предел $\cot (2 x) \sin (6 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $3$ .

$3$