Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $4$ в выражении ${(2 - x)}^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6.2.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6.2.1.3

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6.2.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная ${(2 - x)}^{4} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.2

По правилу суммы производная $2 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.7

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.8

Умножим $- 1$ на $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5

Добавим $- 4 {(2 - x)}^{3}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{1}$

Этап 1.4

Разделим $- 4 {(2 - x)}^{3}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} - 4 {(2 - x)}^{3}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 4 lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{3}$

Этап 2.2

Вынесем степень $3$ в выражении ${(2 - x)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{3}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Этап 2.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$- 4 {(2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Этап 2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- 4 {(2 + 0)}^{3}$

Этап 2.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $2$ и $0$ .

$- 4 \cdot 2^{3}$

Этап 2.5.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 4 \cdot 8$

Этап 2.5.2.3

Умножим $- 4$ на $8$ .

$- 32$