Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})$ , вынося $\frac{1}{x - 3}$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x - 3} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x - 3} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Этап 2.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Этап 2.7

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Этап 2.8

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Этап 2.9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Этап 2.10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Этап 2.11

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Этап 2.12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2})}$

Этап 2.13

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$e^{\frac{1}{8 - 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

Этап 4.1.2

Вычтем $3$ из $8$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{16 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{16 - 1}{8 + 2})}$

Этап 4.2.3

Вычтем $1$ из $16$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{15}{8 + 2})}$

Этап 4.3

Добавим $8$ и $2$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{15}{10})}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $15$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 (3)}{10})}$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})}$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{3}{2})}$

Этап 4.5

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\ln (\frac{3}{2})$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{2})}{5}}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{2})}{5}}$

Десятичная форма:

$1.08447177 \dots$