Основы мат. анализа Примеры

$\frac{lim_{x \to 1} 5 x^{2} - 7 x + 2}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 5 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Этап 2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Этап 4

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Этап 5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{2} - 1}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 1^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{2} - 1}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{2} - 1}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2}{x^{2} - 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{5 - 7 \cdot 1 + 2}{x^{2} - 1}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$\frac{5 - 7 + 2}{x^{2} - 1}$

Этап 7.1.4

Вычтем $7$ из $5$ .

$\frac{- 2 + 2}{x^{2} - 1}$

Этап 7.1.5

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{0}{x^{2} - 1}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 7.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 7.3

Разделим $0$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$0$