Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{(\frac{1}{6 - x}) - (\frac{1}{6})}{x}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{6 - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6 - x} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{6})}{x}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- (\frac{1}{6})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6 - x} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{6}) \cdot \frac{6 - x}{6 - x}}{x}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(6 - x) \cdot 6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{6 - x}$ на $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{(6 - x) \cdot 6} - (\frac{1}{6}) \cdot \frac{6 - x}{6 - x}}{x}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{(6 - x) \cdot 6} - \frac{6 - x}{6 (6 - x)}}{x}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(6 - x) \cdot 6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{6 (6 - x)} - \frac{6 - x}{6 (6 - x)}}{x}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x)}}{x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x)} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x)}$ на $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x) x}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{(6 - x) x}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 6 - (6 - x)}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Этап 3.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Найдем предел $6 - (6 - x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - (6 + 0)}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Этап 3.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - 6}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Этап 3.1.2.3

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 - x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} 6 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.3.3

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(6 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(6 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(6 + 0) \cdot 0}$

Этап 3.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{6 \cdot 0}$

Этап 3.1.3.5.2

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{(6 - x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 - (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 - (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $6 - (6 - x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- (6 - x)]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (6 - x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (6 - x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [6 - x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [6 - x]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3.4.2

По правилу суммы производная $6 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3.4.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 - \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 - 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3.4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 - 1)}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3.4.7

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3.4.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 6 - x$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{(6 - x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [6 - x]}$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{(6 - x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [6 - x]}$

Этап 3.3.8

Умножим $6 - x$ на $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \frac{d}{d x} [6 - x]}$

Этап 3.3.9

По правилу суммы производная $6 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Этап 3.3.10

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Этап 3.3.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.3.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \cdot - 1 \cdot 1}$

Этап 3.3.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \cdot - 1}$

Этап 3.3.15

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x - 1 \cdot x}$

Этап 3.3.16

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x - x}$

Этап 3.3.17

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - 2 x}$

Этап 3.3.18

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x + 6}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 6}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 6}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 6}$

Этап 4.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6}$

Этап 4.5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + 6}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- 2 \cdot 0 + 6}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{0 + 6}$

Этап 6.1.2

Добавим $0$ и $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 6}$

Этап 6.2.2

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{1}{36}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{36}$

Десятичная форма:

$0.02\overline{7}$