Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} - x} - x - 1$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} - x} - lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} - x} - lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{8^{3} - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{8^{3} - 8} - lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{8^{3} - 8} - 8 - 1 \cdot 1$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\sqrt[3]{512 - 8} - 8 - 1 \cdot 1$

Этап 7.1.2

Вычтем $8$ из $512$ .

$\sqrt[3]{504} - 8 - 1 \cdot 1$

Этап 7.1.3

Перепишем $504$ в виде $2^{3} \cdot 63$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Вынесем множитель $8$ из $504$ .

$\sqrt[3]{8 (63)} - 8 - 1 \cdot 1$

Этап 7.1.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\sqrt[3]{2^{3} \cdot 63} - 8 - 1 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt[3]{63} - 8 - 1 \cdot 1$

Этап 7.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \sqrt[3]{63} - 8 - 1$

Этап 7.2

Вычтем $1$ из $- 8$ .

$2 \sqrt[3]{63} - 9$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \sqrt[3]{63} - 9$

Десятичная форма:

$- 1.04188558 \dots$