Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 | x |}{x}$

Этап 1

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} + 2 | x |}{x}$

Этап 2

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\frac{x^{2} + 2 | x |}{x}$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \frac{x^{2} + 2 | x |}{x} \\ - 0.1 & - 2.1 \\ - 0.01 & - 2.01 \\ - 0.001 & - 2.001 \\ - 0.0001 & - 2.0001 \\ - 0.00001 & - 2.00001 \end{array}$

Этап 3

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $- 2$ . Таким образом, предел $\frac{x^{2} + 2 | x |}{x}$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $- 2$ .

$- 2$

Этап 4

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} + 2 | x |}{x}$

Этап 5

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\frac{x^{2} + 2 | x |}{x}$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \frac{x^{2} + 2 | x |}{x} \\ 0.1 & 2.1 \\ 0.01 & 2.01 \\ 0.001 & 2.001 \\ 0.0001 & 2.0001 \\ 0.00001 & 2.00001 \end{array}$

Этап 6

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $2$ . Таким образом, предел $\frac{x^{2} + 2 | x |}{x}$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $2$ .

$2$

Этап 7

Так как правосторонний и левосторонний пределы не равны, предел не существует.

$Не существует$