Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{2} - 4}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2} - 4}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(2 + x)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{2} - 4}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

Перепишем ${(2 + x)}^{2}$ в виде $(2 + x) (2 + x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(2 + x) (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Развернем $(2 + x) (2 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 (2 + x) + x (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + 2 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $4 + 4 x + x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1.1

Добавим $0$ и $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.10.1.2

Добавим $4 + 2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.10.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 4}{1}$

Этап 1.4

Разделим $2 x + 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 x + 4$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 4$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4$

Этап 2.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 lim_{x \to 0} x + 4$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \cdot 0 + 4$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 4$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $4$ .

$4$