Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{3 x \sin (2 x)}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \sin (2 x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Этап 8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Этап 9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Этап 11.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Этап 11.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Этап 11.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Этап 11.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Этап 11.1.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Этап 11.2

Объединим $\frac{π}{4}$ и $\sin (2 \frac{π}{4})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{4})}{4}}$

Этап 11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{4}}$

Этап 11.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{4}}$

Этап 11.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}$

Этап 11.3.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \cdot 1}{4}}$

Этап 11.4

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4}}$

Этап 11.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{3} (1 \frac{4}{π})$

Этап 11.6

Умножим $\frac{4}{π}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{π}$

Этап 11.7

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{3 π}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{3 π}$

Десятичная форма:

$0.42441318 \dots$