Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} (\frac{π}{2} - x) \tan (x)$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} (\frac{π}{2} - x \cdot \frac{2}{2}) \tan (x)$

Этап 1.2

Объединим $- x$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} (\frac{π}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2}) \tan (x)$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π - x \cdot 2}{2} \tan (x)$

Этап 2

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π - 2 x}{2} \tan (x)$

Этап 2.2

Объединим $\frac{π - 2 x}{2}$ и $\tan (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{(π - 2 x) \tan (x)}{2}$

Этап 3

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} (π - 2 x) \tan (x)$

Этап 4

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} (π - 2 x) \tan (x)$

Этап 5

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $(π - 2 x) \tan (x)$ , когда $x$ стремится к $\frac{π}{2}$ слева.

$\begin{array}{c} x & (π - 2 x) \tan (x) \\ 1.47079632 & 1.99332888 \\ 1.56079632 & 1.99993333 \\ 1.56979632 & 1.99999933 \end{array}$

Этап 6

Если значения $x$ стремятся к $\frac{π}{2}$ , значения функции стремятся к $2$ . Таким образом, предел $(π - 2 x) \tan (x)$ , когда $x$ стремится к $\frac{π}{2}$ слева, равен $2$ .

$2$

Этап 7

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} (π - 2 x) \tan (x)$

Этап 8

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $(π - 2 x) \tan (x)$ , когда $x$ стремится к $\frac{π}{2}$ справа.

$\begin{array}{c} x & (π - 2 x) \tan (x) \\ 1.67079632 & 1.99332888 \\ 1.58079632 & 1.99993333 \\ 1.57179632 & 1.99999933 \end{array}$

Этап 9

Если значения $x$ стремятся к $\frac{π}{2}$ , значения функции стремятся к $2$ . Таким образом, предел $(π - 2 x) \tan (x)$ , когда $x$ стремится к $\frac{π}{2}$ справа, равен $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Этап 10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Этап 10.2

Перепишем это выражение.

$1$