Основы мат. анализа Примеры

$lim_{w \to 4} \frac{3 \sqrt{w} - 6}{w - 4}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{w \to 4} 3 \sqrt{w} - 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $w$ к $4$ .

$\frac{lim_{w \to 4} 3 \sqrt{w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $w$ .

$\frac{3 lim_{w \to 4} \sqrt{w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Этап 1.1.2.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{3 \sqrt{lim_{w \to 4} w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $w$ к $4$ .

$\frac{3 \sqrt{lim_{w \to 4} w} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $w$ , подставив значение $4$ для $w$ .

$\frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $w$ к $4$ .

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - lim_{w \to 4} 4}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $w$ к $4$ .

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $w$ , подставив значение $4$ для $w$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{w \to 4} \frac{3 \sqrt{w} - 6}{w - 4} = lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w} - 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w} - 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $3 \sqrt{w} - 6$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}] + \frac{d}{d w} [- 6]$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{w}$ в виде $w^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 w^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $w$ , производная $3 w^{\frac{1}{2}}$ по $w$ равна $3 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $w^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 \frac{w^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.3.10

Объединим $3$ и $\frac{w^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3 w^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.3.11

Перенесем $w^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $w$ , производная $- 6$ относительно $w$ равна $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $w - 4$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 4]$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 4]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d w} [- 4]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 4$ является константой относительно $w$ , производная $- 4$ относительно $w$ равна $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем $w^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{w}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 \sqrt{w}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{w}}$ на $1$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 \sqrt{w}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{3}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $w$ .

$\frac{3}{2} lim_{w \to 4} \frac{1}{\sqrt{w}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $w$ к $4$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{w \to 4} 1}{lim_{w \to 4} \sqrt{w}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $w$ к $4$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{w \to 4} \sqrt{w}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{w \to 4} w}}$

Этап 3

Найдем предел $w$ , подставив значение $4$ для $w$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{4}$

Десятичная форма:

$0.75$