Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2})}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{8 \frac{1}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 1.1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Этап 1.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Этап 1.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 1.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 1.1.3.7.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{6 \frac{1}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 1.1.3.7.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{6 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 1.1.3.7.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{0}{2 (3) \frac{1}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 1.1.3.7.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{0}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 1.1.3.7.1.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 1.1.3.7.1.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{3 (\frac{1}{2}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 1.1.3.7.1.5

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{3}{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 1.1.3.7.1.6

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{3}{2} + \frac{- 5}{2} + 1}$

Этап 1.1.3.7.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{0}{\frac{3}{2} - \frac{5}{2} + 1}$

Этап 1.1.3.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0}{1 + \frac{3 - 5}{2}}$

Этап 1.1.3.7.3

Вычтем $5$ из $3$ .

$\frac{0}{1 + \frac{- 2}{2}}$

Этап 1.1.3.7.4

Разделим $- 2$ на $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.7.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $8 x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $3$ на $8$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Этап 1.3.5

Добавим $24 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 5 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $12 x - 5$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $24$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$24 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{12 x - 5}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - 5}$

Этап 2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - 5}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5}$

Этап 2.5

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5}$

Этап 2.6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$24 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$24 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$24 \frac{\frac{1}{2^{2}}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{2 (6) \frac{1}{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$24 \frac{\frac{1}{4}}{2 \cdot 6 \frac{1}{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$24 \frac{\frac{1}{4}}{6 - 1 \cdot 5}$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{6 - 5}$

Этап 4.2.3

Вычтем $5$ из $6$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Этап 4.3

Разделим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$24 (\frac{1}{4})$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$4 (6) \frac{1}{4}$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 6 \frac{1}{4}$

Этап 4.4.3

Перепишем это выражение.

$6$