Основы мат. анализа Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{(3 n + 4) (1 - n)}{n^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} (3 n + 4) (1 - n)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n + 4 \cdot lim_{n \to 8} 1 - n}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{(lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 4) \cdot lim_{n \to 8} 1 - n}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{(3 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 4) \cdot lim_{n \to 8} 1 - n}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{(3 lim_{n \to 8} n + 4) \cdot lim_{n \to 8} 1 - n}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{(3 lim_{n \to 8} n + 4) \cdot (lim_{n \to 8} 1 - lim_{n \to 8} n)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{(3 lim_{n \to 8} n + 4) \cdot (1 - lim_{n \to 8} n)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{(3 lim_{n \to 8} n + 4) \cdot (1 - lim_{n \to 8} n)}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 4) \cdot (1 - lim_{n \to 8} n)}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}$

Этап 9.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 4) \cdot (1 - 8)}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}$

Этап 9.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 4) \cdot (1 - 8)}{8^{2}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{(24 + 4) (1 - 8)}{8^{2}}$

Этап 10.1.2

Добавим $24$ и $4$ .

$\frac{28 (1 - 8)}{8^{2}}$

Этап 10.1.3

Вычтем $8$ из $1$ .

$\frac{28 \cdot - 7}{8^{2}}$

Этап 10.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{28 \cdot - 7}{64}$

Этап 10.3

Умножим $28$ на $- 7$ .

$\frac{- 196}{64}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $- 196$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 196$ .

$\frac{4 (- 49)}{64}$

Этап 10.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$\frac{4 \cdot - 49}{4 \cdot 16}$

Этап 10.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 49}{4 \cdot 16}$

Этап 10.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 49}{16}$

Этап 10.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{49}{16}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{49}{16}$

Десятичная форма:

$- 3.0625$