Основы мат. анализа Примеры

$lim_{n \to 8} \sqrt{3 n^{2} - 5 n + 7} - n \sqrt{3}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$lim_{n \to 8} \sqrt{3 n^{2} - 5 n + 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{n \to 8} 3 n^{2} - 5 n + 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\sqrt{lim_{n \to 8} 3 n^{2} - lim_{n \to 8} 5 n + lim_{n \to 8} 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\sqrt{3 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 5 n + lim_{n \to 8} 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 5 n + lim_{n \to 8} 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Этап 6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\sqrt{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 5 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Этап 7

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\sqrt{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 5 lim_{n \to 8} n + 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Этап 8

Вынесем член $\sqrt{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\sqrt{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 5 lim_{n \to 8} n + 7} - \sqrt{3} lim_{n \to 8} n$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\sqrt{3 \cdot 8^{2} - 5 lim_{n \to 8} n + 7} - \sqrt{3} lim_{n \to 8} n$

Этап 9.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\sqrt{3 \cdot 8^{2} - 5 \cdot 8 + 7} - \sqrt{3} lim_{n \to 8} n$

Этап 9.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\sqrt{3 \cdot 8^{2} - 5 \cdot 8 + 7} - \sqrt{3} \cdot 8$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{3 \cdot 64 - 5 \cdot 8 + 7} - \sqrt{3} \cdot 8$

Этап 10.2

Умножим $3$ на $64$ .

$\sqrt{192 - 5 \cdot 8 + 7} - \sqrt{3} \cdot 8$

Этап 10.3

Умножим $- 5$ на $8$ .

$\sqrt{192 - 40 + 7} - \sqrt{3} \cdot 8$

Этап 10.4

Вычтем $40$ из $192$ .

$\sqrt{152 + 7} - \sqrt{3} \cdot 8$

Этап 10.5

Добавим $152$ и $7$ .

$\sqrt{159} - \sqrt{3} \cdot 8$

Этап 10.6

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\sqrt{159} - 8 \sqrt{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{159} - 8 \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$- 1.24688624 \dots$