Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 3} (x^{4} - 3) (x^{2} + 5 x + 3)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$lim_{x \to 3} x^{4} - 3 \cdot lim_{x \to 3} x^{2} + 5 x + 3$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$(lim_{x \to 3} x^{4} - lim_{x \to 3} 3) \cdot lim_{x \to 3} x^{2} + 5 x + 3$

Этап 3

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - lim_{x \to 3} 3) \cdot lim_{x \to 3} x^{2} + 5 x + 3$

Этап 4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 3} x^{2} + 5 x + 3$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 3) \cdot (lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 3)$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 3)$

Этап 7

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3)$

Этап 8

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x + 3)$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$(3^{4} - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x + 3)$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$(3^{4} - 1 \cdot 3) \cdot (3^{2} + 5 lim_{x \to 3} x + 3)$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$(3^{4} - 1 \cdot 3) \cdot (3^{2} + 5 \cdot 3 + 3)$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$(81 - 1 \cdot 3) \cdot (3^{2} + 5 \cdot 3 + 3)$

Этап 10.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$(81 - 3) \cdot (3^{2} + 5 \cdot 3 + 3)$

Этап 10.2

Вычтем $3$ из $81$ .

$78 \cdot (3^{2} + 5 \cdot 3 + 3)$

Этап 10.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$78 \cdot (9 + 5 \cdot 3 + 3)$

Этап 10.3.2

Умножим $5$ на $3$ .

$78 \cdot (9 + 15 + 3)$

Этап 10.4

Добавим $9$ и $15$ .

$78 \cdot (24 + 3)$

Этап 10.5

Добавим $24$ и $3$ .

$78 \cdot 27$

Этап 10.6

Умножим $78$ на $27$ .

$2106$