Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{2 x - 4}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.3

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 + 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{4 + 2 - 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.5.2

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.5.3

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{2 x - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $2 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} 2 x + 1$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1)$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1)$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 2} x + 1)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 2 + 1)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (4 + 1)$

Этап 4.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $5$ .

$\frac{5}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$2.5$