Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.2.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{2 - \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 - \sqrt{7 - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Вычтем $3$ из $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $49$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - 1 \cdot 49}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{0}{7^{2} - 1 \cdot 49}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{0}{49 - 1 \cdot 49}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $49$ .

$\frac{0}{49 - 49}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $49$ из $49$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 - \sqrt{x - 3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 3}$ в виде ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.4

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.12

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.14

Умножим $\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.4.15

Перенесем ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x^{2} - 49$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 49$ является константой относительно $x$ , производная $- 49$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Этап 1.5

Перепишем ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x - 3}$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Этап 1.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $\frac{1}{2 x}$ на $\frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 x (2 \sqrt{x - 3})}$

Этап 1.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 7} \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{4} lim_{x \to 7} \frac{1}{x \sqrt{x - 3}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}$

Этап 2.6

Внесем предел под знак радикала.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}$

Этап 2.8

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $7$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{7 - 3}}$

Этап 4.1.2

Вычтем $3$ из $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{4}}$

Этап 4.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot 2}$

Этап 4.2

Умножим $7$ на $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$

Этап 4.3

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1}{14}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{14 \cdot 4}$

Этап 4.3.2

Умножим $14$ на $4$ .

$- \frac{1}{56}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{56}$

Десятичная форма:

$- 0.01785714 \dots$