Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 4 x + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4 x + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 4 x + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} - 4 lim_{x \to 1} x + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} - 4 \cdot 1 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 4 \cdot 1 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1 - 4 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2.6.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3}$

Этап 1.1.3.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{0}{1 + 2 - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.6.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{1 + 2 - 3}$

Этап 1.1.3.6.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Этап 1.1.3.6.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + 2 x - 3} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.9.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.10

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 + 0}$

Этап 1.3.11

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2 x - 4$ и $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) - 4}{2 x + 2}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 x + 2}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 x + 2}$

Этап 1.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x) + 2}$

Этап 1.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x) + 2 (1)}$

Этап 1.4.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x + 1)}$

Этап 1.4.4.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x + 1)}$

Этап 1.4.4.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 2}{x + 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Этап 2.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{1 + 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1 - 2}{1 + 1}$

Этап 4.1.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1}{1 + 1}$

Этап 4.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$