Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{x^{4} - 2 x + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 8

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{{(- 1 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Этап 12.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{{(- 1 + 2 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Этап 12.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(- 1 + 2 - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Этап 12.1.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Этап 12.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Этап 12.1.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{0}{1 - 2 \cdot - 1 + 1}$

Этап 12.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{0}{1 + 2 + 1}$

Этап 12.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{0}{3 + 1}$

Этап 12.2.4

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{0}{4}$

Этап 12.3

Разделим $0$ на $4$ .

$0$