Основы мат. анализа Примеры

$25$ , $36$ , $49$ , $64$

Этап 1

Найдем разности первого уровня, вычислив разности между последовательными членами.

$11, 13, 15$

Этап 2

Найдем разности второго уровня, вычислив разности между разностями первого уровня. Так как разность второго уровня — константа, это квадратичная последовательность, заданная посредством $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$2$

Этап 3

Решим относительно $a$ , приравняв $2 a$ к постоянному значению разности второго уровня $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 a$ к постоянному значению разности второго уровня $2$ .

$2 a = 2$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 a = 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 a = 2$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{2}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $2$ на $2$ .

$a = 1$

Этап 4

Решим относительно $b$ , приравняв $3 a + b$ к значению первой разности первого уровня $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 a + b$ к значению первой разности первого уровня $11$ .

$3 a + b = 11$

Этап 4.2

Подставим $1$ вместо $a$ .

$3 \cdot 1 + b = 11$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + b = 11$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$b = 11 - 3$

Этап 4.4.2

Вычтем $3$ из $11$ .

$b = 8$

Этап 5

Решим относительно $c$ , приравняв $a + b + c$ к первому члену последовательности $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $a + b + c$ к первому члену последовательности $25$ .

$a + b + c = 25$

Этап 5.2

Подставим $1$ вместо $a$ , а $8$ вместо $b$ .

$1 + 8 + c = 25$

Этап 5.3

Добавим $1$ и $8$ .

$9 + c = 25$

Этап 5.4

Перенесем все члены без $c$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$c = 25 - 9$

Этап 5.4.2

Вычтем $9$ из $25$ .

$c = 16$

Этап 6

Подставим значения $a$ , $b$ и $c$ в формулу квадратичной последовательности $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$a_{n} = 1 n^{2} + 8 n + 16$

Этап 7

Умножим $n^{2}$ на $1$ .

$a_{n} = n^{2} + 8 n + 16$