Основы мат. анализа Примеры

$2$ , $\frac{4}{3}$ , $\frac{8}{9}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{2}{3}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{2}{3}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = 2$ и $r = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = 2 {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Этап 4

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$a_{n} = 2 \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 5

Умножим $2 \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $2$ и $\frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{2 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $2^{n - 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $2^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a_{n} = \frac{2^{1 + n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 5.2.2

Объединим противоположные члены в $1 + n - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n + 0}}{3^{n - 1}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $n$ и $0$ .

$a_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n - 1}}$