Основы мат. анализа Примеры

$10$ , $8$ , $5$ , $1$ , $- 4$

Этап 1

Найдем разности первого уровня, вычислив разности между последовательными членами.

$- 2, - 3, - 4, - 5$

Этап 2

Найдем разности второго уровня, вычислив разности между разностями первого уровня. Так как разность второго уровня — константа, это квадратичная последовательность, заданная посредством $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$- 1$

Этап 3

Решим относительно $a$ , приравняв $2 a$ к постоянному значению разности второго уровня $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 a$ к постоянному значению разности второго уровня $- 1$ .

$2 a = - 1$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 a = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 a = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{1}{2}$

Этап 4

Решим относительно $b$ , приравняв $3 a + b$ к значению первой разности первого уровня $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 a + b$ к значению первой разности первого уровня $- 2$ .

$3 a + b = - 2$

Этап 4.2

Подставим $- \frac{1}{2}$ вместо $a$ .

$3 (- \frac{1}{2}) + b = - 2$

Этап 4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $3 (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2}) + b = - 2$

Этап 4.3.1.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} + b = - 2$

Этап 4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2} + b = - 2$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $\frac{3}{2}$ к обеим частям уравнения.

$b = - 2 + \frac{3}{2}$

Этап 4.4.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$b = - 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 4.4.3

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$b = \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 4.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$b = \frac{- 2 \cdot 2 + 3}{2}$

Этап 4.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$b = \frac{- 4 + 3}{2}$

Этап 4.4.5.2

Добавим $- 4$ и $3$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$b = - \frac{1}{2}$

Этап 5

Решим относительно $c$ , приравняв $a + b + c$ к первому члену последовательности $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $a + b + c$ к первому члену последовательности $10$ .

$a + b + c = 10$

Этап 5.2

Подставим $- \frac{1}{2}$ вместо $a$ , а $- \frac{1}{2}$ вместо $b$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + c = 10$

Этап 5.3

Упростим $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$c + \frac{- 1 - 1}{2} = 10$

Этап 5.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$c + \frac{- 2}{2} = 10$

Этап 5.3.2.2

Разделим $- 2$ на $2$ .

$c - 1 = 10$

Этап 5.4

Перенесем все члены без $c$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$c = 10 + 1$

Этап 5.4.2

Добавим $10$ и $1$ .

$c = 11$

Этап 6

Подставим значения $a$ , $b$ и $c$ в формулу квадратичной последовательности $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$a_{n} = - \frac{1}{2} n^{2} - \frac{1}{2} n + 11$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $n^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = - \frac{n^{2}}{2} - \frac{1}{2} n + 11$

Этап 7.2

Объединим $n$ и $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = - \frac{n^{2}}{2} - \frac{n}{2} + 11$