Основы мат. анализа Примеры

$30$ , $- 10$ , $\frac{10}{3}$ , $- \frac{10}{9}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $- \frac{1}{3}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = - \frac{1}{3}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = 30$ и $r = - \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 30 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Этап 4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1})$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}})$

Этап 5

Единица в любой степени равна единице.

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}})$

Этап 6

Объединим ${(- 1)}^{n - 1}$ и $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = 30 \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 7

Объединим $30$ и $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{30 {(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 8

Подставим значение $n$ , чтобы найти $n$ -й член.

$a_{5} = \frac{30 {(- 1)}^{(5) - 1}}{3^{(5) - 1}}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $1$ из $5$ .

$a_{5} = \frac{30 {(- 1)}^{4}}{3^{5 - 1}}$

Этап 9.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$a_{5} = \frac{30 \cdot 1}{3^{5 - 1}}$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $1$ из $5$ .

$a_{5} = \frac{30 \cdot 1}{3^{4}}$

Этап 10.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$a_{5} = \frac{30 \cdot 1}{81}$

Этап 11

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $30$ на $1$ .

$a_{5} = \frac{30}{81}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $30$ и $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$a_{5} = \frac{3 (10)}{81}$

Этап 11.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$a_{5} = \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 27}$

Этап 11.2.2.2

Сократим общий множитель.

$a_{5} = \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 27}$

Этап 11.2.2.3

Перепишем это выражение.

$a_{5} = \frac{10}{27}$