Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{4}^{18} 6 x - 1$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $x$ было равно $1$ .

$\sum_{4}^{18} 6 x - 1 = \sum_{x = 1}^{18} 6 x - 1 - \sum_{x = 1}^{3} 6 x - 1$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{x = 1}^{18} 6 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{x = 1}^{18} 6 x - 1 = 6 \sum_{x = 1}^{18} x + \sum_{x = 1}^{18} - 1$

Этап 2.2

Найдем значение $6 \sum_{x = 1}^{18} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.2.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(6) (\frac{18 (18 + 1)}{2})$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Добавим $18$ и $1$ .

$6 \frac{18 \cdot 19}{2}$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $18$ на $19$ .

$6 (\frac{342}{2})$

Этап 2.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{342}{2}$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{342}{2}$

Этап 2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 342$

Этап 2.2.3.3

Умножим $3$ на $342$ .

$1026$

Этап 2.3

Найдем значение $\sum_{x = 1}^{18} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.3.2

Подставим значения в формулу.

$(- 1) (18)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $18$ .

$- 18$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$1026 - 18$

Этап 2.5

Вычтем $18$ из $1026$ .

$1008$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{x = 1}^{3} 6 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $x$ .

$6 \cdot 1 - 1 + 6 \cdot 2 - 1 + 6 \cdot 3 - 1$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $6$ на $1$ .

$6 - 1 + 6 \cdot 2 - 1 + 6 \cdot 3 - 1$

Этап 3.2.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$5 + 6 \cdot 2 - 1 + 6 \cdot 3 - 1$

Этап 3.2.3

Умножим $6$ на $2$ .

$5 + 12 - 1 + 6 \cdot 3 - 1$

Этап 3.2.4

Вычтем $1$ из $12$ .

$5 + 11 + 6 \cdot 3 - 1$

Этап 3.2.5

Добавим $5$ и $11$ .

$16 + 6 \cdot 3 - 1$

Этап 3.2.6

Умножим $6$ на $3$ .

$16 + 18 - 1$

Этап 3.2.7

Вычтем $1$ из $18$ .

$16 + 17$

Этап 3.2.8

Добавим $16$ и $17$ .

$33$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$1008 - 33$

Этап 5

Вычтем $33$ из $1008$ .

$975$