Основы мат. анализа Примеры

$1$ , $4$ , $9$ , $16$ , $25$

Этап 1

Найдем разности первого уровня, вычислив разности между последовательными членами.

$3, 5, 7, 9$

Этап 2

Найдем разности второго уровня, вычислив разности между разностями первого уровня. Так как разность второго уровня — константа, это квадратичная последовательность, заданная посредством $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$2$

Этап 3

Решим относительно $a$ , приравняв $2 a$ к постоянному значению разности второго уровня $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 a$ к постоянному значению разности второго уровня $2$ .

$2 a = 2$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 a = 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 a = 2$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{2}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $2$ на $2$ .

$a = 1$

Этап 4

Решим относительно $b$ , приравняв $3 a + b$ к значению первой разности первого уровня $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 a + b$ к значению первой разности первого уровня $3$ .

$3 a + b = 3$

Этап 4.2

Подставим $1$ вместо $a$ .

$3 \cdot 1 + b = 3$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + b = 3$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$b = 3 - 3$

Этап 4.4.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$b = 0$

Этап 5

Решим относительно $c$ , приравняв $a + b + c$ к первому члену последовательности $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $a + b + c$ к первому члену последовательности $1$ .

$a + b + c = 1$

Этап 5.2

Подставим $1$ вместо $a$ , а $0$ вместо $b$ .

$1 + 0 + c = 1$

Этап 5.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 + c = 1$

Этап 5.4

Перенесем все члены без $c$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$c = 1 - 1$

Этап 5.4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$c = 0$

Этап 6

Подставим значения $a$ , $b$ и $c$ в формулу квадратичной последовательности $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$a_{n} = 1 n^{2} + 0 n + 0$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $1 n^{2} + 0 n$ и $0$ .

$a_{n} = 1 n^{2} + 0 n$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $n^{2}$ на $1$ .

$a_{n} = n^{2} + 0 n$

Этап 7.2.2

Умножим $0$ на $n$ .

$a_{n} = n^{2} + 0$

Этап 7.3

Добавим $n^{2}$ и $0$ .

$a_{n} = n^{2}$

Этап 8

Подставим значение $n$ , чтобы найти $n$ -й член.

$a_{6} = {(6)}^{2}$

Этап 9

Возведем $6$ в степень $2$ .

$a_{6} = 36$