Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{i = 1}^{20} 3 - 2 (i - 3)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 - 2 i - 2 \cdot - 3$

Этап 1.1.2

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$3 - 2 i + 6$

Этап 1.2

Добавим $3$ и $6$ .

$- 2 i + 9$

Этап 1.3

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{20} - 2 i + 9$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{i = 1}^{20} - 2 i + 9 = - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 9$

Этап 3

Найдем значение $2 \sum_{i = 1}^{20} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $20$ и $1$ .

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $20$ на $21$ .

$- 2 (\frac{420}{2})$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 420$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $420$ .

$- 420$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{20} 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 4.2

Подставим значения в формулу.

$(9) (20)$

Этап 4.3

Умножим $9$ на $20$ .

$180$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$- 420 + 180$

Этап 6

Добавим $- 420$ и $180$ .

$- 240$