Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{i = 1}^{4} \frac{1}{i + 4}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$\frac{1}{1 + 4} + \frac{1}{2 + 4} + \frac{1}{3 + 4} + \frac{1}{4 + 4}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{2 + 4} + \frac{1}{3 + 4} + \frac{1}{4 + 4}$

Этап 2.1.2

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3 + 4} + \frac{1}{4 + 4}$

Этап 2.1.3

Добавим $3$ и $4$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{4 + 4}$

Этап 2.1.4

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$

Этап 2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{168}{168}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{168}{168} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{168}{168}$ .

$\frac{168}{5 \cdot 168} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{140}{140}$ .

$\frac{168}{5 \cdot 168} + \frac{1}{6} \cdot \frac{140}{140} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{140}{140}$ .

$\frac{168}{5 \cdot 168} + \frac{140}{6 \cdot 140} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{120}{120}$ .

$\frac{168}{5 \cdot 168} + \frac{140}{6 \cdot 140} + \frac{1}{7} \cdot \frac{120}{120} + \frac{1}{8}$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{120}{120}$ .

$\frac{168}{5 \cdot 168} + \frac{140}{6 \cdot 140} + \frac{120}{7 \cdot 120} + \frac{1}{8}$

Этап 2.2.7

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{105}{105}$ .

$\frac{168}{5 \cdot 168} + \frac{140}{6 \cdot 140} + \frac{120}{7 \cdot 120} + \frac{1}{8} \cdot \frac{105}{105}$

Этап 2.2.8

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{105}{105}$ .

$\frac{168}{5 \cdot 168} + \frac{140}{6 \cdot 140} + \frac{120}{7 \cdot 120} + \frac{105}{8 \cdot 105}$

Этап 2.2.9

Умножим $5$ на $168$ .

$\frac{168}{840} + \frac{140}{6 \cdot 140} + \frac{120}{7 \cdot 120} + \frac{105}{8 \cdot 105}$

Этап 2.2.10

Умножим $6$ на $140$ .

$\frac{168}{840} + \frac{140}{840} + \frac{120}{7 \cdot 120} + \frac{105}{8 \cdot 105}$

Этап 2.2.11

Умножим $7$ на $120$ .

$\frac{168}{840} + \frac{140}{840} + \frac{120}{840} + \frac{105}{8 \cdot 105}$

Этап 2.2.12

Умножим $8$ на $105$ .

$\frac{168}{840} + \frac{140}{840} + \frac{120}{840} + \frac{105}{840}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{168 + 140 + 120 + 105}{840}$

Этап 2.4

Добавим $168$ и $140$ .

$\frac{308 + 120 + 105}{840}$

Этап 2.5

Добавим $308$ и $120$ .

$\frac{428 + 105}{840}$

Этап 2.6

Добавим $428$ и $105$ .

$\frac{533}{840}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{533}{840}$

Десятичная форма:

$0.63452380 \dots$