Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{i = 1}^{4} \frac{1}{7} \cdot (i^{2} + 1)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{7} i^{2} + \frac{1}{7} \cdot 1$

Этап 1.2

Объединим $\frac{1}{7}$ и $i^{2}$ .

$\frac{i^{2}}{7} + \frac{1}{7} \cdot 1$

Этап 1.3

Умножим $\frac{1}{7}$ на $1$ .

$\frac{i^{2}}{7} + \frac{1}{7}$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{4} \frac{i^{2}}{7} + \frac{1}{7}$

Этап 2

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$\frac{1^{2}}{7} + \frac{1}{7} + \frac{2^{2}}{7} + \frac{1}{7} + \frac{3^{2}}{7} + \frac{1}{7} + \frac{4^{2}}{7} + \frac{1}{7}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1^{2} + 1 + 2^{2} + 1 + 3^{2} + 1 + 4^{2} + 1}{7}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 + 1 + 2^{2} + 1 + 3^{2} + 1 + 4^{2} + 1}{7}$

Этап 3.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1 + 1 + 4 + 1 + 3^{2} + 1 + 4^{2} + 1}{7}$

Этап 3.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1 + 1 + 4 + 1 + 9 + 1 + 4^{2} + 1}{7}$

Этап 3.2.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{1 + 1 + 4 + 1 + 9 + 1 + 16 + 1}{7}$

Этап 3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + 4 + 1 + 9 + 1 + 16 + 1}{7}$

Этап 3.4

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{6 + 1 + 9 + 1 + 16 + 1}{7}$

Этап 3.5

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{7 + 9 + 1 + 16 + 1}{7}$

Этап 3.6

Добавим $7$ и $9$ .

$\frac{16 + 1 + 16 + 1}{7}$

Этап 3.7

Добавим $16$ и $1$ .

$\frac{17 + 16 + 1}{7}$

Этап 3.8

Добавим $17$ и $16$ .

$\frac{33 + 1}{7}$

Этап 3.9

Добавим $33$ и $1$ .

$\frac{34}{7}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{34}{7}$

Десятичная форма:

$4.\overline{857142}$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{6}{7}$