Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{i = 1}^{50} 2^{2 i}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{2^{2 (i + 1)}}{2^{2 i}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2^{2 (i + 1)}$ и $2^{2 i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2^{2 i}$ из $2^{2 (i + 1)}$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i}}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{2^{2 (i + 1) - 2 i}}{1}$

Этап 2.2.1.2.4

Разделим $2^{2 (i + 1) - 2 i}$ на $1$ .

$r = 2^{2 (i + 1) - 2 i}$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = 2^{2 i + 2 \cdot 1 - 2 i}$

Этап 2.2.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = 2^{2 i + 2 - 2 i}$

Этап 2.2.3

Объединим противоположные члены в $2 i + 2 - 2 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вычтем $2 i$ из $2 i$ .

$r = 2^{0 + 2}$

Этап 2.2.3.2

Добавим $0$ и $2$ .

$r = 2^{2}$

Этап 2.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = 4$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $i$ в $2^{2 i}$ .

$a = 2^{2 \cdot 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$a = 2^{2}$

Этап 3.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$a = 4$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 1 \cdot 4}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 4}$

Этап 5.1.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{- 3}$

Этап 5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$

Этап 5.3

Умножим $4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \frac{1 - 4^{50}}{3}$

Этап 5.3.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1 - 4^{50}}{3}$ .

$\frac{- 4 (1 - 4^{50})}{3}$

Этап 5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Десятичная форма:

$1.6902008 \cdot 10^{30}$