Основы мат. анализа Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} (\sqrt{x^{2} + 6 x + 13}) - \sqrt{13}}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 6 x + 13} - lim_{x \to 0} \sqrt{13}}{x}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + 6 x + 13} - lim_{x \to 0} \sqrt{13}}{x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 6 x + lim_{x \to 0} 13} - lim_{x \to 0} \sqrt{13}}{x}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 6 x + lim_{x \to 0} 13} - lim_{x \to 0} \sqrt{13}}{x}$

Этап 5

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 13} - lim_{x \to 0} \sqrt{13}}{x}$

Этап 6

Найдем предел $13$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 0} x + 13} - lim_{x \to 0} \sqrt{13}}{x}$

Этап 7

Найдем предел $\sqrt{13}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 0} x + 13} - \sqrt{13}}{x}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{0^{2} + 6 lim_{x \to 0} x + 13} - \sqrt{13}}{x}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{0^{2} + 6 \cdot 0 + 13} - \sqrt{13}}{x}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 6 \cdot 0 + 13} - \sqrt{13}}{x}$

Этап 9.1.2

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 0 + 13} - \sqrt{13}}{x}$

Этап 9.1.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 13} - \sqrt{13}}{x}$

Этап 9.1.4

Добавим $0$ и $13$ .

$\frac{\sqrt{13} - \sqrt{13}}{x}$

Этап 9.1.5

Вычтем $\sqrt{13}$ из $\sqrt{13}$ .

$\frac{0}{x}$

Этап 9.2

Разделим $0$ на $x$ .

$0$