Основы мат. анализа Примеры

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{3}$ для $x$ .

$\frac{3 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

Этап 3.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

Этап 3.2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 x$ и $b = 1$ .

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Этап 3.3

Разделим $0$ на $(3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$0$